受 NJU-OS 启发

问题引入

给你一个实数，不断平方它，最终会如何？

\[x^{2^{2^{...}}}\]

不难发现有以下规律：

\(\|x\| \lt 1\) 最终趋于 \(0\)
\(x = 1\) 一直都是 \(1\)
\(x = -1\) 在 \(1\) 和 \(-1\) 循环
其他情况，趋于 \(\infty\)

复数与复平面

我们把形如 \(z=a+bi\)（\(a\)、\(b\)均为实数）的数称为复数。

复平面（Complex plane）是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示。一个复数的实部用沿着 x 轴的位移表示，虚部用沿着 y 轴的位移表示。

数学中的复数的模。将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模。

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

曼德博集合的其中一个定义

考虑这样一个函数：

\[f(z)=z^2+c\]

其中 \(z\) 和 \(c\) 都为虚数。

我们设 \(a_n=f(a_{n-1}), a_1=0\)

根据 \(c\) 的不同，可能会有以下两种可能：

任意自然数 \(k\), 均有 \(|a_k| \le 2\)
存在自然数 \(k\), 使得 \(|a_k| \gt 2\)

所有第一种可能的 \(c\) 构成了一个集合，就是曼德博集合。由于 \(c\) 是复数，把集合内的点画在复平面上，就形成了图像。

补充视频

什么是Mandelbrot Set?

Netpbm

P3           # "P3" 代表这是一个用 ASCII 字符集描述 RGB 彩色图像的文件
2          # "3 2" 分别代表图片的宽和高
        # "255" 是每个颜色的最大值（考虑到兼容性，这里最好保持 255）
# 这上面是头部描述
# 下面是描述像素颜色的三元组
 0   0  # red
255   0  # green
 0 255  # blue
255   0  # yellow
255 255  # white
 0   0  # black

这样虽然能描述一张图片，但是我们知道一个 ASCII 字符就要 1 个字节，描述一个像素就要 12 个字节，但实际上我们描述三个 0~255 的数字只需要 3 个字节。

于是我们可以把 P3 改成 P6, 下面的像素就直接打印 3 个字节，缺点是不能用文本编辑器查看和修改了。

所以到底怎么画？

如何编程判断一个点是否在曼德博集合内呢？算个 800 次！

如果这 800 次都满足条件那就认为它在集合内，我们上亮色（这样做更好看）。

如果在第 400 次模厂超过了 2, 那么就上稍微暗一点的色，如果只有 10 几次我们就上黑色。

于是我们可以定义一个数组：

int x[W][H];

用来存放每个点“满足条件的次数”。

你的任务就是算出这个数组！

如何选点

实数是无穷的，而我们的数组是有限的。你可以先使用这个网站来寻找你想要的那个点 \(c\)，然后 x[a][b] 就对应着 \((a*scale+c_x,b*scale+c_y)\)

准备 lab 环境

gcc

make

ffmpeg

git

git clone https://github.com/Bubbleioa/csintro-workbench.git

找到 mb.c，那将是你需要完成的程序。

在完成对应部分后，在 mb.c 的同级目录下，执行 make

生成的 0001.ppm 就是目标文件。

你可以指定缩放参数 make scale=5e-8

使用 make clean 来清除输出文件。

参考图像

scale 为 8e-8, c=0.365724769+0.120668683i 时

彩蛋！

还记得我们第一节课上说的，视频就是连续的图像吗？

当你正确地实现了这个 lab 之后，我们特地为你准备了一份礼物！

make run scale=你的初始缩放 steps=总共的帧数 steplen=步长 -j10

这时候你的目录底下会有一个 out.mp4, 打开它，没错，这就是这次 lab 的成果！

实验0-曼德博集合